Probability Distribution
1. Disrtibusi F
Jika V1 dan V2 adalah dua variabel independent acak memiliki disrtribusi Chi-Kuadrat dengan m1 dan m2 derajat kebebasan masing – masing, maka besaran berikut mengikuti distribusi F dengan m1 derajat kebebasan pembilang m2 derajat kebebasan penyebut, yaitu (m1, m2) derajat kebebasan.
Berikut adalah grafik distribusi F dengan (5,2) derajat kebebasan.
Studi Kasus
Temukan 95th persentil dari distribusi F dengan (5,2) derajat kebebasan.
Penyelesaian :
Kita menerapkan fungsi kuantil qf dari distribusi F terhadap nilai desimal 0,95.
> qf(.95, df1=5, df2=2)
[1] 19,296
Jawaban :
95th perentil dari Distribusi F dengan (5,2) derajat kebebasan adalah 19,296.
2. Distribusi Chi-kuadrat
Jika X1, X2, … , Xm adalah m peubah acak bebas berdistribusi normal standar, maka besaran berikut mengikuti Distribusi Chi-Kuadrat dengan m derajat kebebasan, artinya m, dan variansinya adalah 2 m.
Berikut adalah grafik distribusi Chi-Squared 7 derajat kebebasan.
Studi Kasus :
Temukan 95th persentil dari Distribusi Chi-Squared dengan 7 derajat kebebasan.
Penyelesaian:
kita menerapkan fungsi kuantil dari Distribusi Chi-Squared terhadap nilai desimal 0,95 .
> qchisq(.95, df=7)
[1] 14.067
#7 derajat kebebasan
Jawaban :
95th persentil dari Distribusi Chi-Squared dengan 7 derajat kebebasan adalah 14,067.
3. Distribusi T Student
Asumsikan bahwa variabel acak Z memiliki Distribusi Normal Standar, dan variabel acak lainnya V memiliki Distribusi Chi-Squared dengan m derajat kebebasan. Asumsikan lebih lanjut bahwa Z dan V bebas, maka besaran berikut mengikuti Distribusi t Siswa dengan m derajat kebebasan.
Berikut adalah grafik Distribusi t Siswa dengan 5 derajat kebebasan.
Studi Kasus :
Temukan 2,5th dan 97,5th persentil dari Distribusi t Siswa dengan 5 derajat kebebasan.
Penyelesaian:
Kita menerapkan fungsi kuantil qt dari Distribusi t Siswa terhadap nilai desimal 0,025 dan 0,975.
> qt(c(.025, .975), df=5) # 5 derajat kebebasan
[1] -2.5706 2.5706
Jawaban :
2,5th dan 97,5th persentil dari Distribusi t Siswa dengan 5 derajat kebebasan berturut – turut adalah -2,5706 dan 2,5706.
4. Distribusi Normal
Distribusi Normal didefinisikan oleh fungsi kepadatan probalitas berikut, dimana μ adalah mean populasi dan σ² adalah varians.
Jika variabel acak X mengikuti Distribusi Normal, maka kita tulis:
Khususnya, distribusi normal dengan μ=0 dan σ=1 disebut Distribusi Normal Standar, dengan dilambangkan sebagai Ν(0,1). Dapat digambarkan sebagai berikut.
Distribusi Normal penting karena Teorema Limit Pusat yang menyatakan bahwa populasi dari semua sampel yang mungkin berukuran n dari sebuah populasi dengan mean μ dan varians σ² mendekati distribusi normal dengan mean μ dan σ² n kapan n mendekati tak terhingga.
Studi Kasus
Asumsikan bahwa nilai ujian dari ujian masuk perguruan tinggi sesuai dengan distribusi normal. Selanjutnya, nilai rata – rata tes adalah 72, dan standar deviasi adalah 15,2. Berapa perentase siswa yang mendapat nilai 84 atau lebih dalam ujian?
Penyelesaian:
Kita menerapkan fungsi pnorm dari distribusi normal dengan mean 72 dan standar deviasi 15,2. Karena kami mencari persentase siswa yang mendapat nilai lebih tinggi dari 84, kita fokus pada ekor atas dari distrbusi normal.
> pnorm(84, mean=72, sd=15.2, lower.tail=FALSE)
[1] 0,21492
Jawaban :
Persentase siswa yang mendapat nilai 84 atau lebih dalam ujian masuk perguruan tinggi adalah 21,5%.
5. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial menggambarkan waktu kedatangan dari urutan peristiwa independen yang berulang secara acak. Jika μ adalah waktu tunggu rata – rata untuk pengulangan peristiwa berikutnya, fungsi kepadatan probalitasnya adalah :
Berikut adalah grafik distribusi eksponensial dengan μ=1.
Studi Kasus :
Misalkan waktu Checkout rata- rata kasir supermarket adalah tiga menit. Temukan probalitas checkout pelanggan diselesaikan oleh kasir dalam waktu kurang dari dua menit.
Penyelesaian:
Tingkat pemrosesan checkout sama dengan satu dibagi dengan waktu penyelesaian checkout rata – rata. Oleh karena itu tingkat pemrosesan adalah 1/3 checkout per menit. Kemudian menerapkan fungsi pexp dari Distribusi Eksponensial dengan rate = 1/3.
> pexp(2, tarif=1/3)
[1] 0,48658
Jawaban :
Probalitas menyelesaikan checkout dalam waktu kurang dari dua menit oleh kasir adalah 48,7%.
6. Distribusi Seragam Berkelanjutan
Distribusi seragam terus menerus adalah distribusi probalitas pemilihan nomor acak dari interval kontinu antara sebuah a dan b, fungsi densitasnya didefiniskan sebagai berikut.
Berikut adalah grafik distrbusi seragam kontinu dengan sebuah a =1, b=3.
Studi Kasus :
Pilih sepuluh nomor cak antara satu dan tiga.
Penyelesaian ;
Kami menerapkan fungsi generasi runif dari distribusi seragam untuk menghasilkan sepuluh angka acar antara satu dan tiga
> runif(10, min=1, maks=3)
[1] 1.6121 1.2028 1.9306 2.4233 1.6874 1.1502 2.7068
[8] 1.4455 2.4122 2.2171
7. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson adalah distribusi probalitas kejadian Independen dalam suatu interval. Jika λ adalah kejadian rata – rata per interval, maka probalitas memiliki X kejadian dalam selang waktu tertentu adalah :
Studi Kasus :
Jika rata – rata dua belas mobil yang melintas jembatan per menit, tentukan peluang tujuh belas atau lebih mobil melintasi jembatan dalam satu menit tertentu.
Penyelesaian :
Kemungkinan memiliki enam belas atau kurang mobil yang melintasi jembatan pada menit tertentu diberikan oleh fungsi ppois.
> ppois(16,
[1] 0.89871
lambda=12) # ekor bawah
Jadi peluang tujuh belas atau lebih mobil melintasi jembatan dalam satu menit adalah ekor atas dari fungsi kepadatan probalitas.
ppois(16,
[1] 0.10129
lambda=12, lebih rendah=FALSE) # ekor atas
Jawaban :
Jika rata – rata ada dua belas mobil yang melintasi jembatan per menit, peluang tujuh belas mobil atau lebih melintasi jembatan dalam satu menit tertentu adalah 10,1%.
8. Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit. Ini menggambarkan hasil dari n percobaan
independen dalam percobaan. Setiap percobaan diasumsikan hanya memiliki dua hasil, baik keberhasilan atau kegagalan. Jika peluang percobaan yang berhasil adalah p maka peluang mendapatkan x hasil yang sukses dalam percobaan n percobaan mandiri adalah sebagai berikut.
Studi Kasus :
Misalkan ada dua belas pertanyaan pilihan ganda dalam kuis kelas bahasa Inggris. Setiap pertanyaan memiliki lima kemungkinan jawaban, dan hanya satu yang benar. Temukan probabilitas memiliki empat atau kurang jawaban yang benar jika seorang siswa mencoba menjawab setiap pertanyaan secara acak.
Penyelesaian :
Karena hanya satu dari lima kemungkinan jawaban yang benar, peluang menjawab pertanyaan dengan benar secara acak adalah 1/5=0,2. Kita dapat menemukan probabilitas memiliki tepat 4 jawaban yang benar dengan upaya acak sebagai berikut.
> dbinom(4, ukuran=12, prob=0.2)
[1] 0,1329
Untuk menemukan probabilitas memiliki empat atau kurang jawaban yang benar dengan upaya acak, kami menerapkan fungsi dbinom denganx=0,…,4
dbinom(0, ukuran=12, prob=0.2) +
+ dbinom(1, ukuran=12, prob=0.2) +
+ dbinom(2, ukuran=12, prob=0.2) +
+ dbinom(3, ukuran=12, prob=0.2) +
+ dbinom(4, ukuran=12, prob=0.2)
[1] 0,9274
Atau, kita dapat menggunakan fungsi probabilitas kumulatif untuk pbinom distribusi binomial.
pbinom(4,
[1] 0,92744
ukuran=12, peluang=0.2)
Jawaban :
Probabilitas empat atau kurang pertanyaan dijawab dengan benar secara acak dalam dua belas pertanyaan kuis pilihan ganda adalah 92,7%.