Analisis Bayesian merupakan suatu pendekatan dalam statistik yang menggunakan konsep probabilitas untuk mengukur keyakinan atau ketidakpastian tentang suatu peristiwa atau parameter. Analisis Bayesian didasarkan pada teorema Bayes, dimana hal ini sangat relevan dalam konteks pengambilan keputusan, ketika kita ingin mengintegrasikan informasi sebelumnya atau pengetahuan awal (prior) dengan bukti baru yang ada (likelihood) untuk menghasilkan estimasi yang lebih baik yang mana Teorema Bayes pertama kali diperkenalkan oleh Thomas Bayes pada tahun 1763.
Gambar 1. Thomas Bayes
Pertama kita harus berkenalan dulu dengan Thomas Bayes, seorang pendeta dan matematikawan berkebangsaan Inggris, yang pertama kali mengemukakan teorema Bayes. Dalam tulisannya yang diterbitkan tahun 1763, 3 tahun setelah kematiannya, Bayes memperkenalkan sebuah versi dari persamaan beberapa probabilita yang sekarang dikenal sebagai teorema Bayes. Saat paper ini pertama kali terbit, hanya ada sedikit ekspektasi bahwa persamaan sederhana ini bisa memecahkan banyak permasalahan dalam teori peluang. Namun siapa sangka jika dua ratus tahun kemudian, teorema Bayes telah menjadi sesuatu yang penting dan saat ini menjadi dasar bagi inferensi statistik Bayesian.
Teorema Bayes digunakan untuk menghitung peluang atau probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi. Persamaan dari model Bayes adalah sebagai berikut.
Keterangan:
= Peluang 
Dengan syarat kejadian B terjadi dahulu
= Peluang B syarat kejadian Terjadi terlebih dahulu
= Peluang kejadian
Penjabaran dari rumus di atas yakni menggunakan konsep dari teorema Bayes, berkaitan erat dengan peluang bersyarat. Jika dimisalkan terdapat dua buah peristiwa, yaitu peristiwa A dan peristiwa B. Kita ingin melihat apakah suatu peristiwa yang telah terjadi, dapat mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa yang lain. Dalam hal ini kedua peristiwa A dan B misal digambarkan saling berpotongan dan digambarkan melalui diagram Venn sebagai berikut.
Gambar 2. Diagram Venn untuk Dua Peristiwa A dan B dalam U (Semesta)
Berdasarkan Gambar 2, dapat kita lihat bahwa dari diagram Venn terdapat daerah irisan (daerah perpotongan) A ⋂ B, dimana seluruh elemennya adalah anggota A sekaligus anggota B. Hal ini dapat diartikan bahwa misal kita tahu bahwa A telah terjadi lebih dulu, maka seluruh kemungkinan di luar peristiwa A menjadi tidak mungkin. Kini kita hanya memperhatikan seluruh hasil yang hanya ada didalam peristiwa A, digambarkan sebagai berikut:
Gambar 3. Diagram Venn U (Semesta) Setelah peristiwa A Terjadi
Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa bagian peristiwa B yang masih relevan (masih mungkin terjadi) setelah peristiwa terjadi hanyalah B yang ada di dalam A, atau B ⋂ A. Ur = A, yang menunjukkan bahwa Ur merupakan ruang sampel yang dikondisikan berdasarkan terjadinya peristiwa A. Dengan kata lain, Ur merepresentasikan bagian dari ruang semesta yang masih relevan setelah memperhitungkan bahwa peristiwa A telah terjadi. Dalam konteks probabilitas bersyarat, hal ini berarti bahwa perhitungan probabilitas selanjutnya hanya mempertimbangkan elemen-elemen dalam A, bukan seluruh ruang semesta awal U.
Maka dapat dikatakan peluang terjadinya dua peristiwa berturut-turut, dimana A terjadi lebih dulu lalu B menyusul terjadi (dengan kata lain: peluang terjadinya B jika A telah terjadi lebih dulu), dinotasikan dengan P (B ∣ A) adalah:
Maka
Selanjutnya, apabila kita misalkan kondisi sebaliknya, dimana peristiwa atau peristiwa B terjadi lebih dulu baru kemudian peristiwa A menyusul terjadi. Maka peluang terjadinya A dengan syarat B terjadi lebih dulu adalah:
Berdasarkan teori himpunan juga kita tahu bahwa B = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ Bc) dimana (A ⋂ B) dan (A ⋂ Bc) adalah disjoint (saling bebas, tidak saling berpotongan), maka bisa kita tuliskan.
Maka persamaan di atas dapat dituliskan
Persamaan di atas merupakan bentuk dasar dari teorema Bayes.
Dengan catatan diatas bahwa A dan Ac adalah partisi dari semesta sedemikian hingga A ⋃ Ac = S dan A dan Ac adalah disjoint. Sehingga seandainya pun semesta himpunan dipartisi sejumlah n partisi sedemikian hingga:
maka persamaan teorema Bayes diatas disesuaikan menjadi:
Konsep Dasar Bayesian
- Probabilitas Prior: Informasi awal atau asumsi sebelum data baru diperoleh.
- Likelihood: Kemungkinan mendapatkan data yang diamati berdasarkan suatu model.
- Probabilitas Posterior: Pembaruan keyakinan setelah mengamati data baru.
Contoh Kasus: Tes Medis untuk Penyakit Langka
Misalkan ada sebuah penyakit langka yang hanya diderita oleh 1% dari populasi. Ada sebuah tes medis yang digunakan untuk mendeteksi penyakit ini dengan karakteristik sebagai berikut:
- Jika seseorang benar-benar memiliki penyakit tersebut, tes akan memberikan hasil positif dengan probabilitas 90% (sensitivitas).
- Jika seseorang tidak memiliki penyakit ini, tes tetap bisa memberikan hasil positif (false positive) dengan probabilitas 5% (spesifisitas 95%).
Sekarang, jika seseorang melakukan tes dan mendapatkan hasil positif, berapa peluang bahwa orang tersebut benar-benar memiliki penyakit tersebut?
Persamaan Teorama Bayes:
Dengan:
- Prior → P(A) → Probabilitas awal sebelum ada bukti (sebelum tes).
- Likelihood → P(B∣A) → Probabilitas mendapatkan bukti tertentu jika hipotesis benar (keakuratan tes).
- Posterior → P(A∣B) → Probabilitas setelah mendapatkan bukti (hasil akhir setelah melihat tes).
Namun, P(B) bisa dihitung menggunakan aturan probabilitas total:
Jadi, jika kita menuliskan kembali Teorema Bayes dengan ekspansi:
Dimana,
- Prior: P(A) = 0.01 (hanya 1% orang yang sakit).
- Likelihood: P(B∣A) = 0.9 (jika sakit, kemungkinan tes positif adalah 90%).
- False Positive Rate:
= 0.05 (jika tidak sakit, kemungkinan tetap tes positif 5%). - Komplemen Prior:
= 0.99 (99% orang tidak sakit).
Lalu, kita hitung Posterior dengan memasukkan ke rumus:
Jadi, meskipun tesnya positif, probabilitas sebenarnya orang tersebut benar-benar sakit hanya sekitar 15.4%.
Kesimpulan:
- Prior (P(A) adalah kepercayaan awal sebelum melihat data (misalnya, hanya 1% orang yang sakit).
- Likelihood P(B∣A) adalah kemungkinan mendapatkan bukti tertentu jika hipotesis benar (misalnya, jika sakit, 90% kemungkinan tes positif).
- Posterior (P(A∣B) adalah keyakinan setelah melihat data baru (misalnya, setelah tes positif, tetap hanya 15.4% kemungkinan sakit).
Intinya: Posterior adalah hasil akhir setelah memperbarui prior menggunakan bukti baru dengan bantuan likelihood.
Penerapan dalam Berbagai Bidang
- Epidemiologi
Digunakan untuk meramalkan penyebaran penyakit, mengevaluasi efektivitas pengobatan, dan membuat keputusan klinis berdasarkan bukti medis.
2. Keuangan
Menerapkan dalam pemodelan harga aset, manajemen risiko, peramalan pasar, dan pengambilan keputusan bisnis di tengah ketidakpastian.
3. Pendidikan
Untuk mengukur efektivitas program, mengidentifikasi faktor yang memengaruhi keberhasilan siswa, dan mengembangkan model pembelajaran adaptif.
4. Pengembangan Produk
Membantu mengoptimalkan desain produk, menguji fitur baru, dan memahami preferensi konsumen.
5. Teknologi
Diterapkan dalam pengembangan algoritma cerdas, pengolahan citra, dan analisis data besar untuk meramalkan perilaku pengguna.
Keunggulan Bayesian
Pendekatan Bayesian memiliki beberapa keunggulan dibandingkan pendekatan frekuentis, yaitu:
- Dapat memasukkan informasi atau pengetahuan awal (prior knowledge).
- Fleksibel dalam menangani data kecil.
- Memberikan distribusi penuh dari parameter, bukan hanya estimasi titik.
Referensi:
https://statistikakomputasi.wordpress.com/2010/03/27/seri-bayesian-untuk-pemula-teorema-bayes/
https://exsight.id/blog/2024/02/26/apa-itu-analisis-bayesian/#Tahapan_Analisis_Bayesian