Bayesian Structural Time Series Analysis

1. Pendekatan Bayesian dalam Pemodelan Time Series

Analisis deret waktu (time series analysis) bertujuan untuk mempelajari pola data berdasarkan waktu, seperti tren, musiman, dan fluktuasi acak. Pendekatan Bayesian memberikan cara yang fleksibel untuk menangani ketidakpastian dalam data dan model.

Dalam pendekatan Bayesian, parameter model tidak dianggap tetap, melainkan memiliki distribusi probabilitas yang disebut prior distribution. Setelah data diamati, kita memperbarui keyakinan terhadap parameter tersebut menggunakan Teorema Bayes:

dimana:

: posterior (distribusi parameter setelah melihat data)

: likelihood (kemungkinan data diberikan parameter)

: prior (keyakinan awal terhadap parameter)

: evidence (konstanta normalisasi)

Adapun keunggulan dari pendekatan Bayesian ini, yaitu:

1. Menggabungkan informasi sebelumnya (prior knowledge).
2. Menghasilkan distribusi penuh parameter, bukan satu nilai titik.
3. Mampu menangani model kompleks dan data sedikit.
4. Dapat memodelkan ketidakpastian prediksi secara eksplisit.

2. Model Structural Time Series

Cara kerja model Structural Time Series bersifat Markovian, hal ini dikarenakan keadaan di masa depan bergantung pada keadaan di masa kini sehingga perhitungannya bersifat iteratif (Suciati, 2023). Bentuk model umum dari Structural Time Series ditunjukkan sebagai berikut (Scott & Varian, 2014):

dimana:

y_t = vektor pengamatan pada waktu t

= vektor state pada waktu t

Z_t = vektor output dari matriks transisi

T_t = matriks transisi berupa matriks persegi

R_t = matriks kontrol berupa matriks persegi panjang

H_t = matriks diagonal konstan dengan elemen diagonalnya berisi

Q_t = matriks state difffusion atau matriks variansi full rank

e_t = error observasi berupa noise variansi

= error sistem

Dalam Structural Time Series Model (STSM), suatu deret waktu dianggap tersusun dari beberapa komponen utama. Local level menggambarkan rata-rata jangka panjang yang berubah secara perlahan, sehingga mencerminkan kondisi dasar suatu proses. Komponen ini sering dipadukan dengan local linear trend, yaitu bagian yang memodelkan arah perubahan data, apakah sedang meningkat, menurun, atau berubah kecepatannya. Hubungan antara level dan trend biasanya dinyatakan melalui persamaan

yang menunjukkan bahwa level dapat berubah mengikuti slope dan dinamika sistem.

Selain itu, STSM menyertakan seasonal component untuk menangkap pola yang berulang dalam periode tertentu, seperti pola bulanan atau tahunan. Model ini juga dapat memasukkan regression component, yaitu pengaruh variabel eksternal seperti suku bunga atau indeks global. Pendekatan Bayesian Structural Time Series (BSTS) kemudian menggabungkan komponen-komponen ini sesuai kebutuhan sehingga menghasilkan model yang fleksibel dan mampu menangkap berbagai struktur dalam data deret waktu.

Misalkan data deret waktu Y_t mengikuti model AR(1):

Dalam pendekatan Bayesian, parameter dan  dianggap acak dengan prior:

Setelah data diamati, karena perhitungan analitik dari distribusi posterior Bayesian sangatlah sulit, maka akan digunakan perhitungan numerik menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) untuk mensimulasikan distribusi posterior, yang menghaluskan hasil peramalan atas sejumlah besar model yang potensial menggunakan model averaging Bayesian (Suciati, 2023).

Bayesian Forecasting

Prediksi ke depan dilakukan dengan mengambil sampel dari posterior predictive distribution:

Artinya, prediksi mempertimbangkan seluruh ketidakpastian dari parameter, bukan hanya estimasi tunggal.

3. Perbandingan dengan Metode ARIMA Klasik

Pernah mendengar model ARIMA?

Model ini sudah lama menjadi standar klasik dalam analisis deret waktu. ARIMA bekerja dengan melihat hubungan antara nilai masa kini dan masa lalu secara linear dan tetap sepanjang waktu. Biasanya, parameter model diperkirakan menggunakan metode Maximum Likelihood (ML) atau Least Squares, sehingga kita hanya mendapatkan satu nilai estimasi untuk setiap parameter.

Nah, pendekatan Bayesian Structural Time Series (BSTS) membawa cara pandang yang berbeda.

Dalam Bayesian, setiap parameter model dianggap sebagai variabel acak. Artinya, bukan angka pasti, tapi punya distribusi probabilitas. Dengan Teorema Bayes, kita bisa menggabungkan dua sumber informasi:

• Data yang diamati (melalui likelihood), dan
• Pengetahuan awal tentang parameter (melalui prior).

Hasilnya adalah posterior distribution, yaitu gambaran lengkap tentang bagaimana nilai parameter bisa berubah setelah melihat data. Secara ringkas perbedaan kedua metode ini dapat dilihat dalam tabel berikut:

Aspek	ARIMA (Klasik)	BSTS
Estimasi Parameter	Point estimate (ML/LS)	Distribusi posterior
Ketidakpastian	Hanya dari error	Dari parameter + error
Fleksibilitas model	Linear	Bisa non-linear, struktural
Informasi Awal	Tidak digunakan	Menggunakan prior
Output prediksi	Forecast + interval konfidensi	Posterior predictive distribution
Kelebihan	Simpel, cepat, stabil	Adaptif, eksplisit ketidakpastian

Apa Artinya bagi Analis Data?

Jadi, pendekatan Bayesian memungkinkan kamu untuk:

1. Menggabungkan informasi historis atau hasil studi sebelumnya.
2. Memahami ketidakpastian parameter secara eksplisit.
3. Membuat prediksi yang lebih adaptif, terutama saat pola data berubah.

Sedangkan ARIMA tetap unggul dalam:

1. Kecepatan perhitungan,
2. Kesederhanaan model, dan
3. Kestabilan pada data besar yang relatif stasioner.

4. Contoh Kasus dan Implementasi dalam R Studio

Misal dilakukan prediksi Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) untuk 12 bulan ke depan menggunakan metode Bayesian Structural Time Series (BSTS) dan dibandingkan dengan model ARIMA klasik. Adapun data yang digunakan adalah harga penutupan bulanan IHSG selama 6 tahun terakhir yang diambil dari Jakarta Composite Index (^JKSE) (Yahoo Finance, 2025).

Analisis dilakukan dengan menggunakan metode:

1) BSTS (Bayesian)

1. Menggunakan komponen local level dan local linear trend.
2. Estimasi dilakukan dengan MCMC, sehingga menghasilkan posterior predictive.
3. Memberikan CI 95% yang mencerminkan ketidakpastian pasar.

2) ARIMA (Klasik)

1. Dipilih otomatis menggunakan auto.arima.
2. Memberikan estimasi poin dan interval kepercayaan frekuentis.

Penyelesaian:

Bagian pertama dari analisis ini dimulai dengan melakukan persiapan lingkungan kerja. Beberapa package penting di-load, seperti quantmod untuk mengambil data finansial, bsts untuk pemodelan Bayesian Structural Time Series (BSTS), forecast untuk ARIMA, ggplot2 untuk visualisasi, serta xts dan dplyr untuk manipulasi data. Untuk memastikan hasil yang konsisten, fungsi set.seed(123) digunakan agar proses sampling MCMC dari model Bayesian menghasilkan keluaran yang dapat direproduksi. Dapat dirangkum seperti berikut:

Nama Package	Fungsi
quantmod	Menggambil data keuangan dari Yahoo Finance
bsts	Membangun model Bayesian Structural Time Series (BSTS)
forecast	Fitting ARIMA dan membuat forecast
ggplot2	Visualisasi
xts	Format time-series yang cocok untuk operasi finansial
dplyr	Manipulasi data

#204A87  #4E9A06  #8F5902

1) Ambil data IHSG dari Yahoo

Syntax

Kode menggunakan fungsi getSymbols() dari quantmod untuk mengunduh data indeks IHSG langsung dari Yahoo Finance. Ticker IHSG adalah ^JKSE. Karena simbol dengan karakter khusus tidak dapat digunakan sebagai nama objek di R, quantmod otomatis menyimpannya dengan nama JKSE. Setelah dicek, harga penutupan harian diekstrak menggunakan Cl(raw).

Untuk keperluan analisis tren jangka panjang, data harian kemudian dikonversi menjadi data bulanan menggunakan to.monthly(), dan harga penutupan bulanan (closing price) dipilih.

2) Transformasi log-price dan log-returns

Harga saham sering dianalisis dalam bentuk logaritma karena lebih stabil dan memudahkan model menangkap pertumbuhan relatif. Oleh karena itu, log-price dihitung melalui transformasi log dari harga bulanan. Semua data kemudian dirangkum dalam sebuah data frame yang menyimpan tanggal, harga asli, dan harga logaritmik.

Syntax

3) Split data train/test

Untuk validasi model, data dibagi menjadi:

• Data train: seluruh data kecuali 12 bulan terakhir
• Data test: 12 bulan terakhir (horizon prediksi)

Pembagian ini membuat kita dapat menguji kemampuan prediksi model terhadap data aktual yang belum pernah dilihat.

Syntax

4) Model Bayesian (BSTS)

Model BSTS dibangun menggunakan komponen local level dan local linear trend, yaitu struktur yang umum digunakan untuk memodelkan pergerakan harga yang mengikuti tren non-linear dan berubah dari waktu ke waktu. Dengan menggunakan bsts(), proses MCMC dijalankan sebanyak 2000 iterasi untuk memperkirakan distribusi posterior dari seluruh parameter model. Model inilah yang kemudian dipakai untuk menghasilkan posterior predictive distribution, yaitu prediksi probabilistik lengkap, bukan hanya nilai tunggal. Hasil prediksi BSTS ditransformasi kembali ke skala harga dengan fungsi exp().

Syntax

5) Mode ARIMA

Sebagai pembanding, model ARIMA dibangun pada log-return (selisih log-price), karena ARIMA lebih cocok untuk data yang stasioner. Fungsi auto.arima() digunakan untuk memilih model terbaik berdasarkan AIC. Setelah model ARIMA menghasilkan prediksi return untuk 12 bulan ke depan, prediksi tersebut diubah kembali menjadi log-price dengan cara menjumlahkan return secara kumulatif. Setelah itu, harga dipulihkan kembali ke skala asli menggunakan fungsi eksponensial.

Syntax

6) Evaluasi RMSE

Kinerja dua model dibandingkan menggunakan Root Mean Squared Error(RMSE) terhadap data uji. RMSE memberikan ukuran seberapa jauh prediksi rata-rata menyimpang dari nilai aktual: makin kecil, makin akurat.

Syntax

ARIMA memiliki RMSE yang lebih kecil daripada BSTS, sehingga lebih akurat dalam memprediksi harga IHSG pada periode uji.

7) Visualisasi

Visualisasi membantu melihat mana model yang memberikan prediksi lebih stabil, lebih adaptif terhadap tren, dan memiliki interval ketidakpastian yang lebih realistis.

Syntax

Dari visualisasi terlihat bahwa grafik menunjukkan bahwa garis prediksi ARIMA lebih mendekati data aktual, sedangkan BSTS sering menyimpang pada periode tren berubah.

Secara keseluruhan, ARIMA memberikan dasar analisis deret waktu yang kuat ketika data stabil dan berpola jelas. Bayesian Time Series menawarkan pendekatan yang lebih fleksibel dengan memasukkan ketidakpastian dan informasi awal, sehingga lebih adaptif terhadap perubahan. Sementara itu, BSTS memperluas kemampuan analisis dengan menangkap tren, musiman, hingga pengaruh variabel lain secara lebih dinamis. Dengan memahami perbedaan ini, analis dapat memilih metode yang paling sesuai dengan kondisi data, yakni apakah stabil, tidak pasti, atau mengalami perubahan struktur dari waktu ke waktu.

Referensi:

Indah Suciati. (2023). Kajian Model Bayesian Structural Time Series pada Data Indeks Harga Saham Gabungan di Indonesia. Tesis Magister Matematika, Universitas Lampung.

Scott, S.L., & Varian, H.R. (2014). Predicting the Present with Bayesian Structural Time Series. International Journal of Mathematical Modelling.

Rpubs. (2018). Bayesian Structure Time Series Model into rapbf. Diakses dari https://rpubs.com/boyjustin/bsts

Yahoo Finance. (2025). Jakarta Composite Index (^JKSE) Historical Data. Diakses dari:https://finance.yahoo.com/quote/%5EJKSE